多元闭区域 $D:g(x,y)\le C$ 求最值
▼前提$f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 二阶连续可微，$D$ 是由一条或多条曲线围成的有界闭区域。
规则 1：$f=Ax^2+By^2+$一次项（无交叉项）
1-1：$A,B$ 同号（都正/都负）
✅ 内部存在极值点，必须求内部驻点，纳入候选。
• $A>0,B>0$：内部驻点是极小值点
• $A<0,B<0$：内部驻点是极大值点
边界：闭合单曲线 → 拉格朗日/二转一；边界分段（圆弧+线段）→ 分段单独算。
1-2：$A,B$ 一正一负
✅ 内部驻点是鞍点，不是极值点，内部不可能产生最值。
👉 小题：跳过内部驻点，直接算边界
👉 大题：一句话说明"内部为鞍点，无内部极值，最值仅在边界"
规则 2：$f$ 含交叉乘积项（$xy,\;x^2y^2$）
例：$f=x^2+2y^2-x^2y^2$
✅ 强制必须求内部驻点，内部有可能产生极值。
边界照常：分段就分段算，单闭合曲线可用拉格朗日/二转一。
❌ 不能直接不等式放缩！
规则 3：看边界结构（决定边界怎么算）
单条闭合曲线（椭圆、整圆），没有分段：
👉 直接拉格朗日乘数法，一次性求出边界全部候选；也可以二转一代入。
多段拼接（半圆：圆弧+底边；扇形等）：
👉 分段处理！每一段单独计算。拉格朗日只能处理等式曲线段，直线段单独代入。
无交叉、系数同号，内部极值要算到；
无交叉、一正一负，内部鞍点不用瞧；
一见交叉乘积项，内部驻点必求上；
边界单段拉格朗日，边界分段分开搞。
题目：求 $f(x,y)=x^2+2y^2-x^2y^2$ 在区域 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 4,\;y\ge 0\}$ 上的最大值和最小值。
判断出现交叉项 $-x^2y^2$ → 规则2：必须求内部驻点 + 边界分段。
内部驻点：$(\pm\sqrt{2},\,1)$，$f(\pm\sqrt{2},1)=2+2-2=2$。
边界2（底边 $y=0,\;-2\le x\le 2$）：
$f(x,0)=x^2$，范围 $[0,4]$。$f(\pm2,0)=4$，$f(0,0)=0$。
边界1（圆弧 $x^2+y^2=4,\;y\ge 0$）：用二转一，$x^2=4-y^2$： $$f=(4-y^2)+2y^2-(4-y^2)y^2=y^4-3y^2+4$$ 令 $t=y^2\in[0,4]$，$g(t)=t^2-3t+4$，对称轴 $t=\frac{3}{2}$：
- $t=\frac{3}{2}$：$g=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+4=\frac{7}{4}=1.75$
- $t=0$：$g=4$（对应 $(\pm2,0)$，与底边重合）
- $t=4$：$g=16-12+4=8$（对应 $(0,2)$）
题目：函数 $z=x^2+y^2-6x+8y$ 在圆域 $x^2+y^2\le 100$ 上的最大值与最小值？
A. 200,-25 B. 180,0 C. 205,-15 D. 190,10
判断$A=1>0,B=1>0$ 同号 → 规则1-1：必须求内部驻点。
二阶判别：$A=2>0,\;AC-B^2=4>0$ → 极小值点。
代入 $x^2+y^2=100$：$\frac{25}{16}y^2=100 \Rightarrow y=\pm8$。
- $y=8,\;x=-6$：$z(-6,8)=36+64+36+64=\mathbf{200}$
- $y=-8,\;x=6$：$z(6,-8)=36+64-36-64=0$
题目：当 $x\ge0,\;y\ge0$ 时，$x^2+y^2\le k\,e^{x+y}$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围。
变形分离参数：$k\ge \dfrac{x^2+y^2}{e^{x+y}}=(x^2+y^2)e^{-(x+y)}\triangleq g(x,y)$。
问题转化为求 $g(x,y)$ 在第一象限（含坐标轴）的最大值。
注意本题是无界区域，除内部驻点和边界外，还要单独看无穷远处极限。
两式相减得 $x=y$，代入：$2x=2x^2 \Rightarrow 2x(x-1)=0$。
$x>0 \Rightarrow x=y=1$。$g(1,1)=\dfrac{1+1}{e^2}=\dfrac{2}{e^2}$。
$x=0,\;y\ge0$：$g(0,y)=\dfrac{y^2}{e^y}$。
令 $\varphi(y)=y^2e^{-y}$，$\varphi'(y)=e^{-y}(2y-y^2)$，驻点 $y=2$。
$\varphi(2)=\dfrac{4}{e^2}$。
$y=0,\;x\ge0$：对称，驻点 $x=2$，$g(2,0)=\dfrac{4}{e^2}$。
- $(1,1)$：$\dfrac{2}{e^2}\approx0.27$
- $(2,0),\;(0,2)$：$\dfrac{4}{e^2}\approx0.54$
- 无穷远：$0$
- $g(x,y)$ 不是二次多项式 → 必须求内部驻点
- 无界区域 → 边界（坐标轴）+ 无穷远极限都要算
- 恒成立问题分离参数后，转化为求函数最值
基本初等函数导数表
▼常数 / 幂 / 指数 / 对数
$(C)'=0$
$(x^\mu)'=\mu x^{\mu-1}$ （$\mu$ 为常数）
$(a^x)'=a^x\ln a$ （$a>0,\;a\ne1$）
$(e^x)'=e^x$
$(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}$ （$a>0,\;a\ne1,\;x>0$）
$(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ （$x>0$）
三角函数
$(\sin x)'=\cos x$ $(\cos x)'=-\sin x$
$(\tan x)'=\sec^2 x$ （$x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi$） $(\cot x)'=-\csc^2 x$ （$x\ne k\pi$）
$(\sec x)'=\sec x\tan x$ （$x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi$） $(\csc x)'=-\csc x\cot x$ （$x\ne k\pi$）
反三角函数
$(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ （$|x|<1$） $(\arccos x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}$ $(\text{arccot}\,x)'=-\dfrac{1}{1+x^2}$
补充$(\text{arcsec}\,x)'=\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ $(\text{arccsc}\,x)'=-\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ （$|x|>1$，选学）
双曲函数（补充）
$(\mathrm{sh}\,x)'=\mathrm{ch}\,x$ $(\mathrm{ch}\,x)'=\mathrm{sh}\,x$
$(\mathrm{th}\,x)'=\mathrm{sech}^2\,x$
求导法则
▼四则运算法则
$(u\pm v)'=u'\pm v'$
$(uv)'=u'v+uv'$
$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ （$v\ne0$）
$(Cu)'=Cu'$ （$C$ 为常数）
复合函数求导（链式法则）
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ 即 “外层导数 × 内层导数”
$\big[f(\varphi(x))\big]'=f'[\varphi(x)]\cdot\varphi'(x)$
适用于任意有限重复合。
反函数求导法则
一阶：$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\frac{dx}{dy}}$ （$f'(x)\ne0$）
二阶：$\dfrac{d^2x}{dy^2}=-\dfrac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$
隐函数求导法则
方程 $F(x,y)=0$ 确定隐函数 $y=y(x)$：两端对 $x$ 求导，把 $y$ 视为 $x$ 的函数（含 $y$ 的项用链式法则），再解出 $y'$。
例：$x^2+y^2=1$ 两端求导得 $2x+2yy'=0$，即 $y'=-\dfrac{x}{y}$（$y\ne0$）。
参数方程求导法则
设 $x=x(t),\;y=y(t)$，$x'(t)\ne0$：
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}$
$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{y''(t)x'(t)-x''(t)y'(t)}{[x'(t)]^3}$
对数求导法（幂指函数）
$y=u(x)^{v(x)}$（$u(x)>0$）：先取对数再求导
$\ln y=v\cdot\ln u$
$\dfrac{y'}{y}=v'\cdot\ln u+v\cdot\dfrac{u'}{u}$，即 $y'=y\cdot\left(v'\ln u+v\cdot\dfrac{u'}{u}\right)$
常用高阶导数公式
▼记 $f^{(n)}(x)$ 为 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数（$n$ 为正整数）。
$(x^\mu)^{(n)}=\mu(\mu-1)\cdots(\mu-n+1)\,x^{\mu-n}$
$(a^x)^{(n)}=a^x(\ln a)^n$ $(e^x)^{(n)}=e^x$
$(\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$ $(\cos x)^{(n)}=\cos\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$
$(\ln x)^{(n)}=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{x^n}$ （$x>0$）
$(\ln(1+x))^{(n)}=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{(1+x)^n}$ （$x>-1$）
$\left(\dfrac{1}{ax+b}\right)^{(n)}=(-1)^n\dfrac{a^n\,n!}{(ax+b)^{n+1}}$ （$a\ne0$）
莱布尼茨公式（乘积的 n 阶导数）
$(uv)^{(n)}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} C_n^k\,u^{(n-k)}v^{(k)}$
和 $(a+b)^n$ 的二项式展开同构，$C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$。
变上限积分求导 & 其他结论
▼变上限积分求导
$\left(\displaystyle\int_a^x f(t)dt\right)'=f(x)$
$\left(\displaystyle\int_a^{\varphi(x)} f(t)dt\right)'=f(\varphi(x))\cdot\varphi'(x)$
$\left(\displaystyle\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(t)dt\right)'=f(\psi(x))\cdot\psi'(x)-f(\varphi(x))\cdot\varphi'(x)$
记忆要点：上限代入 × 上限导数 − 下限代入 × 下限导数
下限为常数时，该项为 0。
其他常用结论
$(x^x)'=x^x(\ln x+1)$ （$x>0$，由对数求导法）
反双曲函数（补充）：$(\mathrm{arsh}\,x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
$(\mathrm{arch}\,x)'=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ （$x>1$） $(\mathrm{arth}\,x)'=\dfrac{1}{1-x^2}$ （$|x|<1$）
经典例题
▼题目：设 $y=\sin(2x+1)$，求 $y'$。
套路：先外后内，逐层求导相乘，内层导数漏乘是最高频错误。
题目：设 $x^2+y^2=1$（$y>0$），求 $y'$ 与 $y''$。
题目：设 $x=\cos t,\;y=\sin t$（$t\in(0,\frac{\pi}{2})$），求 $\dfrac{dy}{dx}$ 与 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$。
注意：二阶导是 一阶导再对 $t$ 求导后除以 $x'(t)$，不是直接对 $\frac{dy}{dx}$ 求导。
题目：设 $y=x^x$（$x>0$），求 $y'$。
题目：求 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^2}\sin t\,dt$。
常犯错误：忘记乘上限导数 $(x^2)'=2x$。
题目 1：求 $\sin x$ 的 10 阶导数 $f^{(10)}(x)$。
题目 2：设 $u=x^2,\;v=e^x$，用莱布尼茨公式求 $(uv)^{(3)}$。
套路：多项式和指数/三角相乘的高阶导，用莱布尼茨公式，项数 $n+1$ 有限，逐项写。
预备知识（公式速查）
▼立方公式
立方和：$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
立方差：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
完全立方：$(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$
对数公式
恒等变形：$a=e^{\ln a}=\ln e^a$
乘法：$\ln ab=\ln a+\ln b$
除法：$\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$
换底：$\log_a b=\dfrac{\ln b}{\ln a}$
三角公式
两角和差：$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$
二倍角：$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$
降幂：$\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos 2\alpha}{2}$，$\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos 2\alpha}{2}$
和差化积：$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
特殊值
$\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,\;\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\;\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},\;\sin\frac{\pi}{2}=1,\;\sin\pi=0$
$\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2},\;\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\;\cos\frac{\pi}{3}=\frac12,\;\cos\frac{\pi}{2}=0,\;\cos\pi=-1$
$\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{3},\;\tan\frac{\pi}{4}=1,\;\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3$
正割余割 / 反三角 / 万能公式
$\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$，$\csc x=\dfrac{1}{\sin x}$
$\sec^2 x=1+\tan^2 x$，$\csc^2 x=1+\cot^2 x$
$\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}$，$\arctan x+\text{arccot}\,x=\dfrac{\pi}{2}$
分段恒等式：$\arctan x+\arctan\dfrac{1}{x}=\begin{cases}\dfrac{\pi}{2},&x>0\\[2pt]-\dfrac{\pi}{2},&x<0\end{cases}$ （$x\ne0$；做题先看定义域）
万能公式：$\sin 2x=\dfrac{2\tan x}{1+\tan^2 x}$，$\cos 2x=\dfrac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$
基本概念 & 导积关系（基本积分表）
▼不定积分 = 找原函数（找谁干的）。常数随意进出，微分内任意加减常数。
$\int f(x)dx=F(x)+C \Leftrightarrow F'(x)=f(x)$
定/反常积分 = $F(x)\Big|_a^b=F(b)-F(a)$
幂函数 / 多项式
$\int x^\alpha dx=\dfrac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C\quad(\alpha\ne-1)$
$\int x\,dx=\frac12 x^2$，$\int x^2 dx=\frac13 x^3$
$\int \sqrt{x}\,dx=\frac23 x^{3/2}$，$\int x^{3/2}dx=\frac25 x^{5/2}$
$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$
$\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac1x$，$\int \frac{1}{x^3}dx=-\frac{1}{2x^2}$
$\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}$，$\int \frac{1}{\sqrt{x^3}}dx=-\frac{2}{\sqrt{x}}$
指数 / 对数
$\int a^x dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+C$
$\int e^x dx=e^x+C$，$\int e^{-x}dx=-e^{-x}+C$
$\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C$
三角
$\int \sin x\,dx=-\cos x+C$，$\int \cos x\,dx=\sin x+C$
$\int \tan x\,dx=-\ln|\cos x|+C$，$\int \cot x\,dx=\ln|\sin x|+C$
$\int \sec x\,dx=\ln|\sec x+\tan x|+C$
$\int \csc x\,dx=\ln|\csc x-\cot x|+C$
$\int \sec^2 x\,dx=\tan x+C$，$\int \csc^2 x\,dx=-\cot x+C$
$\int \sec x\tan x\,dx=\sec x+C$，$\int \csc x\cot x\,dx=-\csc x+C$
含 $a^2\pm x^2$ / 根式
$\int \dfrac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$
$\int \dfrac{1}{a^2+x^2}dx=\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}+C$
$\int \dfrac{1}{1-x^2}dx=\frac12\ln\left|\dfrac{1+x}{1-x}\right|+C$
$\int \dfrac{1}{a^2-x^2}dx=\dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{a+x}{a-x}\right|+C$
$\int \dfrac{1}{x^2-a^2}dx=\dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C$
$\int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$
$\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\dfrac{x}{a}+C$
$\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$
$\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C$
根号内二次（必背）
$\int\sqrt{a^2-x^2}dx=\dfrac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\dfrac{a^2}{2}\arcsin\dfrac{x}{a}+C$
$\int\sqrt{x^2\pm a^2}dx=\dfrac{x}{2}\sqrt{x^2\pm a^2}\pm\dfrac{a^2}{2}\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$
常用导积关系（配对记忆）
$\left(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)'=\dfrac{1}{(1+x^2)^{3/2}}$ ⇔ $\displaystyle\int\dfrac{dx}{(1+x^2)^{3/2}}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}+C$
$\left(\ln(x+\sqrt{1+x^2})\right)'=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ ⇔ $\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\ln(x+\sqrt{1+x^2})+C$
注意：$\ln(x+\sqrt{1+x^2})=\mathrm{arsh}\,x$，第二条即反双曲正弦的导积关系。
常见高次幂积分（奇凑偶降）
sin/cos 奇次幂：凑微分（拿出一个作为微分，剩下偶次用 $1-\cos^2x$ 等降幂）
$\displaystyle\int\sin^3x\,dx=-\cos x+\frac13\cos^3x+C$
$\displaystyle\int\cos^3x\,dx=\sin x-\frac13\sin^3x+C$
sin/cos 偶次幂：降幂公式 $\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$，$\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}$
$\displaystyle\int\sin^2x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}+C$
$\displaystyle\int\cos^2x\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin2x}{4}+C$
$\displaystyle\int\sin^4x\,dx=\frac{3x}{8}-\frac{\sin2x}{4}+\frac{\sin4x}{32}+C$
$\displaystyle\int\cos^4x\,dx=\frac{3x}{8}+\frac{\sin2x}{4}+\frac{\sin4x}{32}+C$
tan/cot 高次幂：降次套路 $\tan^2x=\sec^2x-1$，$\cot^2x=\csc^2x-1$
$\displaystyle\int\tan^2x\,dx=\tan x-x+C$ $\displaystyle\int\cot^2x\,dx=-\cot x-x+C$
$\displaystyle\int\tan^3x\,dx=\frac12\tan^2x+\ln|\cos x|+C$ $\displaystyle\int\cot^3x\,dx=-\frac12\cot^2x-\ln|\sin x|+C$
$\displaystyle\int\tan^4x\,dx=\frac13\tan^3x-\tan x+x+C$
sec/csc 三次幂：分部积分（重点）
$\displaystyle\int\sec^3x\,dx=\frac12(\sec x\tan x+\ln|\sec x+\tan x|)+C$
$\displaystyle\int\csc^3x\,dx=-\frac12(\csc x\cot x+\ln|\csc x+\cot x|)+C$
sec/csc 四次幂：偶次凑微分（$\csc^2x=1+\cot^2x$）
$\displaystyle\int\csc^4x\,dx=-\cot x-\frac13\cot^3x+C$
记忆：偶次凑微分（$\sec^2,\csc^2$ 直接背），奇次凑微分 + 分部（$\sec^3,\csc^3$ 结果对称）；tan/cot 高次：拆 $\tan^2=\sec^2-1$ 逐次降幂。
三大积分法
▼① 凑微分（第一类换元）
核心：$d\varphi(x)=\varphi'(x)dx$，把被积函数拆成 $f(\varphi(x))\varphi'(x)dx=f(u)du$。
常见凑微分：
• $x\,dx=\frac12 d(x^2)$ • $\frac{1}{x}dx=d(\ln x)$ • $\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2d(\sqrt{x})$
• $\frac{1}{1+x^2}dx=d(\arctan x)$ • $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=d(\arcsin x)$
• $\frac{1}{\sqrt{x\pm a}}dx=2d\sqrt{x\pm a}$ • $e^x dx=d(e^x)$
• $\cos x\,dx=d(\sin x)$，$\sin x\,dx=-d(\cos x)$
经典例：$\displaystyle\int\frac{x}{1+x^2}dx=\frac12\int\frac{d(1+x^2)}{1+x^2}=\frac12\ln(1+x^2)+C$
套路：分子凑成分母的导数，整体换元 $u=1+x^2$。
② 分部积分
公式：$\int u\,dv=uv-\int v\,du$
列表法（上导下积）：对角相乘、正负相间、竖线积分。遇到障碍就平移。
导积寸止符：幂函数导数 → 0；循环积分 → $I$ 的常数倍；复杂情况 → 可积分时停。
选 $u$ 顺序（反对幂三指）：反三角 > 对数 > 幂函数 > 三角 > 指数。谁在前谁当 $u$。
行列式速算：$\int e^{\alpha x}\sin\beta x\,dx=\dfrac{e^{\alpha x}(\alpha\sin\beta x-\beta\cos\beta x)}{\alpha^2+\beta^2}$
$\int e^x\sin x\,dx=\frac12 e^x(\sin x-\cos x)+C$
$\int e^{2x}\sin x\,dx=\frac15 e^{2x}(2\sin x-\cos x)+C$
③ 换元法
三角代换（根号下平方和差）：
• $\sqrt{a^2-x^2}$：令 $x=a\sin t$
• $\sqrt{a^2+x^2}$：令 $x=a\tan t$
• $\sqrt{x^2-a^2}$：令 $x=a\sec t$
换回来时画三角形。
根式代换（根号下一次方）：$\sqrt[n]{ax+b}=t$；多个根取最小公倍数。
倒代换：令 $x=\frac1t$，适用分母次数较高。
万能代换：令 $\tan\frac{x}{2}=t$，则 $\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$，$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$。适用三角有理式，计算量大，非必要不用。
整体代换：令复杂函数 $=t$。
定积分独有方法
▼奇偶性（对称区间偶倍奇零）
设 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上连续：
$\displaystyle\int_{-a}^a f(x)dx=\begin{cases}2\int_0^a f(x)dx,&f\text{ 偶}\\0,&f\text{ 奇}\end{cases}$
非奇非偶：$f(x)=\frac12[f(x)+f(-x)]+\frac12[f(x)-f(-x)]$，偶 + 奇拆开。
周期性
$f(x)$ 以 $T$ 为周期：$\displaystyle\int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^T f(x)dx$。
从任何点开始积满一个周期都等于从 0 积满一个周期。
平移变换
区间不合适时换元：① 把区间移到题设条件给的区间；② 构造对称区间。
操作手法：区间减函数加 / 区间加函数减。
区间再现（核心理）
操作：令 $x=$ 上限 + 下限 $-t$。
$\displaystyle\int_a^b f(x)dx\;\xlongequal{x=a+b-t}\;\int_a^b f(a+b-t)dt$
适用：分子为分母的其中一项（如 $\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$）。
推论1：$\int_0^\pi xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)dx=\pi\int_0^{\pi/2}f(\sin x)dx$。
推论2：$\int_0^{\pi/2}f(\sin x)dx=\int_0^{\pi/2}f(\cos x)dx$。
Wallis 公式
$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx=\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,dx=\begin{cases}\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac12\cdot\frac{\pi}{2},&n\text{ 偶}\\[4pt]\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac23,&n\text{ 奇}\end{cases}$
记住：偶乘半，奇乘 1。
cos/sin 高次幂定积分
$\int_0^{\pi/2}\cos^2 x\,dx=\frac{\pi}{4}$
$\int_0^\pi\cos^2 x\,dx=2\int_0^{\pi/2}\cos^2 x\,dx=\frac{\pi}{2}$
$\int_0^{2\pi}\cos^2 x\,dx=4\int_0^{\pi/2}\cos^2 x\,dx=\pi$
面积几何应用
$\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac{\pi}{2}$（上半圆面积）
$\int_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}\,dx=\frac{\pi R^2}{2}$
特殊反常积分（数一二重点）
▼指数零到无穷
$\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-\alpha x}dx=\frac{1}{\alpha}\quad(\alpha>0)$
泊松积分（Poisson）
$(1)\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$
$(2)\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}$
伽马函数 $\Gamma(\alpha)$
$\Gamma(\alpha)=\displaystyle\int_0^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx\quad(\alpha>0)$
判断：看到 $x$ 的几次方就是 $\Gamma($几次方+1$)$。
例：$\int_0^{+\infty}x^2 e^{-x}dx=\Gamma(3)=2!=2$；$\int_0^{+\infty}\sqrt{x}\,e^{-x}dx=\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$。
性质：$\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)$；$\Gamma(1)=1$，$\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$；正整数 $n$：$\Gamma(n+1)=n!$。
贝塔函数 $B(p,q)$
$B(p,q)=\displaystyle\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx=\dfrac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$
经典：$\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}=B(\frac12,\frac12)=\pi$
收敛性判别 · p级数模板（必背）
▼两类反常积分
① 无穷限积分：$\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x)\,dx$（还有 $-\infty\to b$、$\pm\infty$ 混合）
② 瑕积分（无界函数）：$f(x)$ 在区间内有瑕点（如 $x\to a^+$ 时无界），例 $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}$
⭐ p 级数模板（核心判别，成对记）
无穷限：$\displaystyle\int_a^{+\infty}\frac{dx}{x^p}\;(a>0)$ ⇒ $p>1$ 收敛，$p\le 1$ 发散
瑕积分：$\displaystyle\int_0^{a}\frac{dx}{x^p}$（$x=0$ 为瑕点） ⇒ $p<1$ 收敛，$p\ge 1$ 发散
口诀：无穷限看"分母阶数压不压得住"（$p>1$ 收敛）；瑕积分结论恰好反过来（$p<1$ 收敛）。
常用等价模板
$\displaystyle\int_2^{+\infty}\frac{dx}{x\ln^p x}$：$p>1$ 收敛，$p\le 1$ 发散（对数比幂慢，$p=1$ 也发散）
$\displaystyle\int_0^{\frac12}\frac{dx}{x(\ln x)^p}$（瑕点 $0^+$）：$p<1$ 收敛，$p\ge 1$ 发散
$\displaystyle\int_0^{+\infty}x^n e^{-x}dx=\Gamma(n+1)$：任意 $n$ 必收敛（指数衰减压倒一切幂函数）
比较判别法（普通形式）
非负函数：$0\le f(x)\le g(x)$。$g$ 收敛 $\Rightarrow$ $f$ 收敛；$f$ 发散 $\Rightarrow$ $g$ 发散。
极限比较判别法（做题主武器）
无穷限：若 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^p f(x)=L$（$0<L<+\infty$），则 $\displaystyle\int^{+\infty} f(x)dx$ 与 $\displaystyle\int\frac{dx}{x^p}$ 同敛散。
实操：把 $f(x)$ 的各因子换成等价无穷大/小，凑出 $\dfrac{1}{x^p}$，判 $p$ 是否 $>1$。
瑕点 $x=a$：若 $f(x)\sim\dfrac{1}{(x-a)^p}$，则 $p<1$ 收敛、$p\ge1$ 发散。
绝对收敛 / 条件收敛
$\displaystyle\int|f(x)|dx$ 收敛 $\Rightarrow$ $\int f$ 绝对收敛；$\int f$ 收敛但 $\int|f|$ 发散 $\Rightarrow$ 条件收敛。
经典：$\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{x^p}dx$：$p>1$ 绝对收敛；$0<p\le1$ 条件收敛（$p=1$ 即 Dirichlet 积分）
结论速查
$\dfrac{1}{x^p}$ 无穷限 $p>1$✓ | 瑕积分 $p<1$✓ | $e^{-x}$ 任意幂必收敛 | $\dfrac{\sin x}{x^p}$：$p>1$ 绝对、$0<p\le1$ 条件
例题
例1 判断 $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x\sqrt{x}}$ 收敛性。
解：$\dfrac{1}{x\sqrt{x}}=\dfrac{1}{x^{3/2}}$，$p=\frac32>1$ ⇒ 收敛。
例2 判断 $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{\sqrt[3]{x}}$ 收敛性。
解：$\dfrac{1}{x^{1/3}}$，$p=\frac13<1$ ⇒ 收敛（瑕积分，结论与无穷限相反）。
例3 判断 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\arctan x}{x^2+1}dx$。
解：$x\to+\infty$ 时 $\dfrac{\arctan x}{x^2+1}\sim\dfrac{\pi/2}{x^2}$，$p=2>1$ 收敛；$x\to0$ 被积函数有界。 ⇒ 收敛。
化简手法
▼拆项
① 分母有什么分子拆什么（方便约分）：$\frac{t^2}{t^2-1}=1+\frac{1}{t^2-1}$
② 一分为二（拆出自己需要的）：$e^{2x}=e^x\cdot e^x$，$x=\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}$
核心公式：$\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac1n-\dfrac{1}{n+1}$
提项（外面提，里面除）
① 提高次；② 提根号内一项；③ 提 $e^x$；④ 分子比分母高几次就提几次，然后拆项。
$\dfrac{x^3}{x^2+1}=x-\dfrac{x}{x^2+1}$
同除
① 除最高次；② 除 $e^x$：$\dfrac{1}{1+e^x}=\dfrac{e^{-x}}{e^{-x}+1}$；③ 二次四次除二次。
同乘
① 多项式差几次乘几次；② 利用平方差公式（分母有理化）；③ 同乘 $e^x$。
三角函数化简：$\dfrac{1}{1-\sin x}=\dfrac{1+\sin x}{\cos^2 x}=\sec^2 x+\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}$
配方（二次多项式）
① 根号内部二次多项式配完全平方：$\sqrt{4x-x^2}=\sqrt{4-(x-2)^2}$
② 质因式分母配方：$\dfrac{1}{x^2-x+1}=\dfrac{1}{(x-\frac12)^2+\frac34}$
经典题型
▼有理函数积分
分子次数 = 分母次数：拆项（多项式 + 真分式）。
分子次数 > 分母次数：先提项后拆项（多项式除法）。
分子次数 < 分母次数：
• 分母质因式：分母二次分子常数 → 先配方后凑微分（$\arctan$）。
• 分母二次分子一次：分子拆出分母的导数再配平，拆成 $\ln$ + $\arctan$ 两部分。
例：$\int\dfrac{x+5}{x^2-6x+13}dx=\frac12\ln(x^2-6x+13)+4\arctan\dfrac{x-3}{2}+C$
• 分母可因式分解：分子拆项或待定系数。
混合留数法 ⭐⭐⭐
① 括号里一次，括号外一次：$\dfrac{3x^2+1}{(x-1)(x-2)(x-5)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x-2}+\dfrac{C}{x-5}$，特值法取 $x=1,2,5$ 直接求。
② 括号里一次，括号外高次：$\dfrac{1}{(x-1)(x-2)^3}=\dfrac{C_1}{x-1}+\dfrac{C_2}{x-2}+\dfrac{C_3}{(x-2)^2}+\dfrac{C_4}{(x-2)^3}$，高次幂从低到高都要写。
③ 括号里二次，括号外一次：$\dfrac{2}{(x-1)(x^2+1)}=\dfrac{C_1}{x-1}+\dfrac{C_2 x+C_3}{x^2+1}$，分子比分母底数低一次。
三角函数组合积分（分子拆 A 倍分母 + B 倍分母导）
$\displaystyle\int\frac{C\sin x+D\cos x}{A\sin x+B\cos x}dx$：把分子拆成 $\;C\sin x+D\cos x=E(A\sin x+B\cos x)+F(A\sin x+B\cos x)'$
待定系数解出 $E,F$ 后：$\displaystyle\int=Ex+F\int\frac{(A\sin x+B\cos x)'}{A\sin x+B\cos x}dx=Ex+F\ln|A\sin x+B\cos x|+C$
例 求 $\displaystyle\int\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx$。
解：$\cos x=E(\sin x+\cos x)+F(\cos x-\sin x)$，对比系数：$E-F=0,\;E+F=1\Rightarrow E=F=\frac12$。
$\displaystyle\int=\frac12 x+\frac12\ln|\sin x+\cos x|+C$。
三角相关化简（5 招）+ 例题
(1) 1 的妙用：$1=\sin^2x+\cos^2x=\sin^2\square+\cos^2\square$；更进一步 $1=1^2=(\sin^2x+\cos^2x)^2$。
(2) cos 消 1（cos 二倍角）：$\cos2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1$。
变形：$\cos2x-1=-2\sin^2x\Rightarrow 1-\cos2x=2\sin^2x$；$\cos2x+1=2\cos^2x\Rightarrow 1+\cos2x=2\cos^2x$。
无 cos 用诱导公式创造：$\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$，再套二倍角。
(3) sincos 与 sin 转化（sin 二倍角）：$\sin2x=2\sin x\cos x\Rightarrow\sin x\cos x=\frac{\sin2x}{2}$；$\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$。
(4) sin+cos 转化为 sin（辅助角）：$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$，$\tan\varphi=\frac{b}{a}$。
(5) 分母齐次结构：同除 $\cos$ 的几次方，往 $\tan$ 上靠。
例1 求 $\int\sin^2x\,dx$。
解：cos 消 1：$\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}$，$\Rightarrow\int\sin^2x\,dx=\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin2x}{4}+C$。
例2 求 $\int\dfrac{dx}{1+\sin x}$。
解：同乘 $1-\sin x$：$\dfrac{1}{1+\sin x}=\dfrac{1-\sin x}{\cos^2x}=\sec^2x-\dfrac{\sin x}{\cos^2x}$，积分 $=\tan x-\sec x+C$。
例3 求 $\int\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}dx$。
解：分母齐次，往 tan 靠：分子 $=$ 分母的导，$\displaystyle\int\frac{f'}{f}dx=\ln|\sin x-\cos x|+C$。
三角高次幂（奇偶规则）+ 例题
① $\sin,\cos$ 高次幂：奇数次凑微分（拆出一个），偶数次降幂（二倍角）。
② $\csc,\sec$ 高次幂：偶数次凑微分（凑 $\sec^2x,\csc^2x$），奇数次凑微分 + 分部。
例1 $\int\sin^3x\,dx$（奇次凑微分）。
解：$\int\sin^3x\,dx=\int(1-\cos^2x)\sin x\,dx=-\cos x+\dfrac{\cos^3x}{3}+C$。
例2 $\int\sin^2x\cos^2x\,dx$（偶次降幂）。
解：$\sin^2x\cos^2x=\dfrac{\sin^22x}{4}=\dfrac{1-\cos4x}{8}$，$\int=\dfrac{x}{8}-\dfrac{\sin4x}{32}+C$。
例3 $\int\sec^3x\,dx$（奇次凑微分 + 分部，经典结论）。
解：$\int\sec^3x\,dx=\dfrac12(\sec x\tan x+\ln|\sec x+\tan x|)+C$。
根号下加比减 / 减比加
① 根号下分式 → 解放分子；② 根号下乘积 → 两个因式解放一个。利用平方差同乘，拆成两项做。
变限积分的定积分
① 凑微分分部 ⭐⭐ ② 交换积分次序
求分段函数的不定积分
① 分段分别求，段 $C$ 不一定相同（写 $C_1,C_2$）。
② 原函数可导必连续：连续左极限 = 右极限，确定 $C_1,C_2$ 关系。
一阶微分方程（四大模板套路）
▼① 可分离变量（最先判断）
形如 $y'=f(x)g(y)$：$\dfrac{dy}{g(y)}=f(x)dx$，两边分别积分。
② 齐次方程
形如 $y'=\varphi\left(\dfrac{y}{x}\right)$（右边只含 $y/x$）：令 $u=\dfrac{y}{x}$，则 $y=ux$，$y'=u+xu'$，化为可分离变量。
③ 一阶线性（公式法）⭐⭐
$y'+P(x)y=Q(x)$ 通解：$y=e^{-\int Pdx}\left[\int Q\,e^{\int Pdx}dx+C\right]$
要点：① 先化成标准形 $y'+P(x)y=Q(x)$；② $\int Pdx$ 只取一个原函数（不加 $C$）；③ 缺 $Q$ 时即齐次，$y=Ce^{-\int Pdx}$。
④ 伯努利方程
$y'+P(x)y=Q(x)y^n\;(n\ne0,1)$：两边同除 $y^n$，令 $z=y^{1-n}$，化为 $z'+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$ 一阶线性。
⑤ 全微分方程
$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$，若 $\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$：$u=\int P\,dx+\int\left(Q-\frac{\partial}{\partial y}\int P\,dx\right)dy$，通解 $u=C$。
可降阶的二阶方程
▼类型1：$y''=f(x)$
直接积分两次：$y'=\int f(x)dx+C_1$，$y=\int\left[\int f(x)dx\right]dx+C_1x+C_2$。
类型2：$y''=f(x,y')$（缺 $y$）
令 $p=y'$，则 $y''=p'$：$p'=f(x,p)$ 化为一阶，解出 $p$ 再积分一次。
类型3：$y''=f(y,y')$（缺 $x$）⭐
令 $p=y'$，把 $y$ 当自变量：$y''=\dfrac{dp}{dx}=p\dfrac{dp}{dy}$，化为 $p\dfrac{dp}{dy}=f(y,p)$ 一阶。
易错：此时 $p$ 是 $y$ 的函数，积分别忘最后再换回 $y'=\dfrac{dy}{dx}$。
二阶常系数线性 · 齐次通解
▼$y''+py'+qy=0$ 特征方程：$r^2+pr+q=0$
① 两不等实根 $r_1\ne r_2$：$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
② 二重根 $r_1=r_2=r$：$y=(C_1+C_2x)e^{rx}$
③ 共轭复根 $r=\alpha\pm i\beta$：$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$
口诀：两实根各自指数；重根补一个 $x$；复根指数乘三角。
二阶常系数线性 · 非齐次特解
▼$y''+py'+qy=f(x)$：通解 = 齐次通解 + 一个特解 $y^*$（先求齐次，再设特解）。
情形1：$f(x)=P_n(x)e^{\lambda x}$
设 $y^*=x^k Q_n(x)e^{\lambda x}$：$Q_n$ 为 $n$ 次待定多项式（系数全设 $a_0\ldots a_n$）；$k$ 为 $\lambda$ 作为特征根的重数（不是特征根 $k=0$，单根 $k=1$，重根 $k=2$）。
情形2：$f(x)=e^{\lambda x}[P_m(x)\cos\beta x+Q_n(x)\sin\beta x]$
设 $y^*=x^k e^{\lambda x}[R_l(x)\cos\beta x+S_l(x)\sin\beta x]$，其中 $l=\max(m,n)$，$k$ 为 $\lambda\pm i\beta$ 作为特征根的重数。
叠加原理
$f(x)=f_1(x)+f_2(x)$ 时：分别设特解 $y_1^*,y_2^*$，相加即可。
易错三连：① 特解多项式次数取 $\max$；② 千万别漏 $x^k$；③ 三角情形 $\sin,\cos$ 的 $l$ 次多项式都要设齐。
欧拉方程 & 解题套路总览
▼欧拉方程
$x^2y''+pxy'+qy=f(x)$：令 $x=e^t$、$D=\dfrac{d}{dt}$，则 $xy'=Dy$，$x^2y''=D(D-1)y$，化为常系数线性方程。
例：$x^2y''-2xy'+2y=0$ → 令 $x=e^t$：$[D(D-1)-2D+2]y=0$ → $r^2-3r+2=0$，$r=1,2$，$y=C_1e^t+C_2e^{2t}=C_1x+C_2x^2$。
解题套路总览（拿到题先问四句）
① 几阶？ 一阶 → 四模板依次试（可分离/齐次/线性/伯努利）；二阶 → 看可降阶 or 常系数。
② 缺什么？ 二阶缺 $y$ 或缺 $x$ → 可降阶换元；不缺 → 常系数特征方程。
③ 非齐次？ 先齐次通解，再按 $f(x)$ 设特解、待定系数。
④ 有初值？ 通解求完再代初值定常数，别中途代。
经典真题（带解析）
▼真题1 · 一阶线性
求微分方程 $xy'+(1-x)y=e^x$ 的通解。
解：化为 $y'+\dfrac{1-x}{x}y=\dfrac{e^x}{x}$，$P=\dfrac{1-x}{x}$，$\int Pdx=\ln x-x$。
$y=e^{x-\ln x}\left[\int \dfrac{e^x}{x}e^{\ln x-x}dx+C\right]=e^{x-\ln x}(x+C)=\dfrac{e^x}{x}(x+C)$。
真题2 · 二阶齐次
求 $y''-3y'+2y=0$ 的通解。
解：特征方程 $r^2-3r+2=(r-1)(r-2)=0$，$r_1=1,r_2=2$，通解 $y=C_1e^x+C_2e^{2x}$。
真题3 · 非齐次特解形式（选择题高频）
微分方程 $y''-2y'+y=3xe^x$ 的特解应设为下列哪种形式？
解：特征 $(r-1)^2=0$，$\lambda=1$ 是二重特征根；$f$ 中 $P_1(x)=3x$ 一次 → $Q_1(x)=ax+b$。故 $y^*=x^2(ax+b)e^x$。（$x$ 的幂次取 $k=2$ 是本题陷阱点）
真题4 · 可降阶（缺 $x$）
求 $y''=(y')^2$ 满足 $y(0)=1,\;y'(0)=1$ 的解。
解：缺 $x$：令 $p=y'$，$y''=p\dfrac{dp}{dy}$：$p\dfrac{dp}{dy}=p^2$ → $\dfrac{dp}{dy}=p$ → $p=C_1e^y$。
由 $p(0)=1,y(0)=1$：$1=C_1e$ → $C_1=e^{-1}$，$\dfrac{dy}{dx}=e^{y-1}$ → $e^{1-y}=1-x$，即 $y=1-\ln(1-x)$。
真题5 · 伯努利
求 $y'+y=xy^2$ 的通解。
解：$n=2$：同除 $y^2$ 得 $y^{-2}y'+y^{-1}=x$，令 $z=y^{-1}$：$-z'+z=x$，即 $z'-z=-x$。
一阶线性：$z=e^x\left[\int(-x)e^{-x}dx+C\right]=e^x(xe^{-x}+e^{-x}+C)=x+1+Ce^x$，故 $y=\dfrac{1}{x+1+Ce^x}$。
后续添加
后续添加